Многомерность квантово-механических моделей
В отечественном мире не считая пространства и времени имеется еще энергия и материя, то-есть фактически видимая часть Вселенной. И как становиться понятным, они то именно не укладываются в размерности пространства и времени, потому, что их то мы именно и видим. Конечно для осознания устройства и начала понимания мира необходимы какие конкретно то упрощения разрешающие все легко и светло представить.
Как раз исходя из этого самым несложным и понятным есть представления о отечественном мире как о трехмерном, то-есть пространственом, в котором времяявляется свободным от геометрии параметром. На этом понятии и выстроена вся Ньютоновская механика идеальная с математической и философской точки зрения. Трехмерность ньютновской механики целиком и полностью базируется на понятии материальной точки!
Красивым следствием этого понятия являются не только законы Ньютона, но и сведение массовой размерности Вселенной к параметру материальной точки — ее массе. То-есть благодаря понятию МТ мы экономим в модели Вселенной множество размерностей. Дальше легко благодаря незавивсимости пространства от
времени в Галилеевой относительности все уравнения перемещения ньютоновской механики выясняется вероятным свести к параметрической зависимости R=R(t) координат мат. точки R от параметра времени -t.
Следующей по сложности есть уже четырехмерная модель, в которой масса материальной точки рассматривается не как постоянный параметр, а как переменная величина, зависящая от параметров перемещения точки. Эта модель уже есть не трехмерной, в том смысле как Ньютонова механика, а четырехмерной, потому, что в этом случае масса материальной точки превратилась из постоянного параметра в новую четвертую координату. Но и в этом случае посредством модифицированного второго закона Ньютона dP/dt=f удается представить изменение координат материальной частицы (R,M) в форме параметрической зависимости от времени-t R=R(t); M=M(t)=M(V^2).
Но в природе не всегда работает модель материальной точки. Тогда-то мы и приходим к модели многомерной Вселенной, где нет мат. точек и нет параметрической зависимости координат от времени — это соответствует квантовой механике, и не только. Как показывает опыт, материальных точек и полностью жёстких тел в природе не существует.
Но они являются главными базисными понятиями Ньютоновской и релятивистской механики, каковые кардинальным образом разрешают упростить и математически строго формализовать перемещение материальных тел.
Многомерность отечественной Вселенной имеется по-сути теоретический базис, на котором основана вся квантовая физика и механика. В квантовой теории вместо понятия материальной точки трудится Де Бройлевский дуализм волна-частица, благодаря чему делается вероятным приобретать уравнения перемещения обьектов, в том случае в то время, когда модель четырехмерной Вселенной совсем неработоспособна. Основополагающими формулами данной концепции являются E=h/(2*pi)*w; P=h/(2*pi)*k (k-волновой вектор).
Именно поэтому в многомерном случае квантовой теории материальная точка представляется как элементарная материальная волна, благодаря чему все неприятности точечных сингулярностей снимаются. В этом случае вместо уравнений перемещения материальной точки рассматриваются волновые уравнения, обрисовывающие динамику волновой функции, Причем эти уравнения разумеется являются многомерными в отличие от динамики материальной точки. Так к примеру перемещение электронов в атомах уже не может быть адекватно обрисовано с позиций четырехмерной модели либо Ньютоновской и релятивисткой механики. Вместо
модели точечного его орбиты и электрона в этом случае употребляется квантовомеханическая модель электронных орбиталей, каковые являются в полной мере настоящими и конкретными вещами, важными за химические особенности веществ, и процессы горения хим.реакций и другое. В случае если мы понимаем под электроном в атоме область его локализации, благодаря поляризации вакуума полем самого обнажённого электрона, то под его действием вместо него обнажённого приобретаем шубу из поляризованных электрон-позитронных пар, которая подобна волне вещества и образует орбиталь в атома.
Это имеется пятимерное обобщение четырехмерной Ньютоновской механики. В действительности в Ньютоновской механике электрон в форме материальной точки имеет свободные координаты x, y, z, t, каковые c одной стороны определяют его движение и состояние, а с другой выражаются в виде параметрических функций от времени t при ответа уравнений перемещения.
В квантовой же механике такая лобовая сообщение отсутствует, и мы имеем уже пять свободных координат x, y, z, t, E, значения которых и определяют движение и состояние электрона при ответа квантовомеханических уравнений f=f(семь дней,y,z,t,E). Под функцией f в этом случае направляться осознавать волновую амплитуду. Из электродинамики и оптики известно, чтомодуль квадрата волновой амплитуды f определяет обьемную плотность волновой энергии в точке пространства.
В случае если для квадрата модуля f забрать единичную нормировку по всему пространству, тогда в соответствии с (Г.Крамер «Математические способы статистики» пункты 6.6 и 15.1) он бывает трактован при помощи распределения массы по трехмерному пространству, и что в один момент есть вероятностной функцией распределения, то-есть плотностью возможности. Как раз в этом и состоит суть вероятностно-волнового дуализма, благодаря которого волновая функция возможно с одной стороны трактована с вероятностностной либо статистической точки зрения, соотвествующей так называемой копенгагенской школе, а иначе она в один момент есть волновой функцией либо амплитудой в детерменистком смысле, соответствующим оптической и электродинамической интерпретации.
На макроуровне волновые функции практически смогут рассматриваться, как ортонормированные так именуемые размазанные дельта-функции Дирака. Отличие размазанных Дельта-функций от фактически дельта-функций пребывает в том, что они принимают сколь угодно громадные значения, но наряду с этим все-таки остаются конечными, и область их локализации, в отличие от дельта-функции, не стягивается в предельную точку, и возможно сколь угодно малой, но конечной. Особенность рассмотрения перемещения электрона на масштабах макроуровня пребывает в том, что волновые функции смогут принимать во внимание простыми дельта-функциями Дирака не учитывая величины их размазанности, которой возможно в этом случае. Данный случай может соответствовать к примеру перемещению свободных
релятивистских электронов к примеру в ускорителях либо легко перемещению свободных электронов на больших если сравнивать с атомарными расстояниях. направляться подчернуть, что представление волновых функций в виде ортонормированных дельта-функций Дирака по-сути соответствует представлению электрона в виде материальной точки, в соответствии кстати с корпускулярно-волновым дуализмом Де Бройля.
Ну а для модели электрона, как материальной точки, применима в полном масштабе Ньютоновская и релятивистская механика. В соответсвии со вторым законом Ньютона dP/dt=F=dA/ds=dE/ds, откуда dP(ds/dt)=dE=dP*V (1). Однако здесь не нужно забывать о Де Бройлевском корпускулярно-волновом дуализме, в соответствии с которым электрон в один момент есть и волновым пакетом, и исходя из этого справедливо представление его в виде суперпозиции монохроматическихволн f(x,y,z,t)=integral[F(P)*exp[i*2*pi*(P*R-E*t)/h]*dP] (2). Сама по себе формула (2) несложна, но физический суть что она имеет является сверхсложное явление, исходя из этого его верная трактовка воображает самое ответственное
значение во всем выводе уравнений квантовй механики, потому, что без нее он просто неосуществим.
направляться подчернуть, что Шредингер сходу оставил идею отсутствия представления электрона и всякого дуализма в виде суперпозиции монохроматических волн, благодаря очевидного наличия расползания для того чтобы пакета в пространстве и времени, и как следствие нестабильности таковой его модели, нарушающей атомизм. Но совершенно верно таковой атомизм свойствен и световым квантам, каковые также будут быть представлены в виде волнового пакета, и как показывает опыт, таковой пакет либо квант стабилен в пространстве и времени в ходе перемещения и эволюции квантов света в пространстве.
Дело в том, что представление светового кванта как отдельной части либо участка монохроматической волны посредством математической теоремы Фурье возможно представлено математически, как волновой пакет с некоторым спектром частот, не считая главной несущей частоты монохроматической волны. Помимо этого представление электрона, как волны, возможно трактовано посредством понятия об электромагнитной поляризации вакуума.
Как мы знаем, квантовый вакуум Дирака является очень плотную целую среду из куперовских анигилировавших электрон-позитронных пар. С одной стороны обьемная плотность таких пар огромна, а с другой, благодаря полного деффекта импульса и массы у частиц в таковой паре их импульс и суммарная энергия выясняются равными нулю, благодаря чего вакуум иначе оказывается очень разреженным.
Из экспериментальных данных направляться, что электрон имеет очень малые размеры намного меньшие его хорошего радиуса ReE=P*C=M*C^2 (3). Потом потому, что формула (3) верна для отдельной волны, то она следовательно верна и для суммы волн, то-есть для всего волнового пакета и следовательно для всего электрона в целом. Подставляя (3) в (1) имеем dE=dP*V=dM*C^2=(dM*V+M*dV)*V = dM/M=V*dV/(C^2-V^2) = Ln(M/Mo)=1/2*Ln(1-[V/C]^2) = M=Mo/sqrt(1-[V/C]^2) (4).
P=MV=Mo*V/sqrt(1-[V/C]^2) (5).
E^2-(P*C)^2=(Mo^2*C^4-Mo^2*V^2*C^2)/(1-[V/C]^2)=Mo^2*C^4 либо E^2=(P*C)^2+Mo^2*C^4 (6). В случае если мы увидим, что формула (6) применима для свободного электрона в отсутствии внешних полей(А. Мессиа «Квантовая механика» том 1, стр. 52-53.), то ей соответствует функция Лагранжа L= — Mo*sqrt(1-[V/C]^2).
Потом несложно продемонстрировать, что при наличия электромагнитных полей A, U функция Лагранжа имеет форму L= — Mo*sqrt(1-[V/C]^2)+(VxA/C-U) (7), а функция Гамильтона H(=E) представима в виде H=sqrt[Mo^2*C^4+(P-e/c*A)^2*c^2]+e*U (8). Сейчас для вывода неспециализированного уравнения квантовой механики необходимо заметить, что в соответствии с с (2) имеем integral[E*F(P)*exp[i*2*pi*(P*R-E*t)/h]*dP] = h/(i*2*pi)*d/dt*integral[F(P)*exp[i*2*pi*(P*R-E*t)/h]*dP]= h/(i*2*pi)*df(x,y,z,t)/dt (9). Потом, учитывая что E=H,
преобразуем (8) к виду [E-e*U]^2=[P-e/c*A]^2+Mo^2*C^4. Из этого совсем приобретаем второе и первое уравнение квантово-механических совокупностей уравнений.
integral[E*F(P)*exp[i*2*pi*(P*R-E*t)/h]*dP]=integral[{sqrt[Mo^2*C^4+(P-e/c*A)^2*c^2]+e*U}*F(P)*exp[i*2*pi*(P*R-E*t)/h]*dP] (10.1)
integral[[E-e*U]^2*F(P)*exp[i*2*pi*(P*R-E*t)/h]*dP]=integral[[P-e/c*A]^2+Mo^2*C^4*F(P)*exp[i*2*pi*(P*R-E*t)/h]*dP] (10.2)
Потом для вывода частных случаев этих уравнений нам потребуется формула двучлена Ньютона
(1+X)^k=1+k*X+k*(k-1)/2!*X^2+ … k(k-1) ….(k-n+1)/n!*X^n (11).
2.1) Уточненное уравнение Шредингера получается из (10.1), в случае если учесть нерелятивистское выражение для энергии электрона.
E=Mo*C^2+1/2*P^2/Mo+3/8*P^4/(в первых рядах3*C^2)+e*U (1-ШF)
h/(i*2*pi)*df(по поводу,y,z,t)/dt=Mo*C^2*f(x,y,z,t)-1/(2*Mo)*[h/(2*pi)]^2*{d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2}*f(x,y,z,t)+3/8*[h/(2*pi)]^4*{d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2}^2*f(x,y,z,t)+e*U*f(x,y,z,t) (2-ШF)
Потом нетрудно подметить, что в нерелятивистском случае энергия определяется с точностью до некоей постоянной, и исходя из этого для перехода от уравнения (2-ШF) к уточненному уравнению Шредингера достаточно вести комплексный фазовый множитель, что не воздействует но на окончательное выражение для квадрата
волновой амплитуды f(x,y,z,t)=fшф(x,y,z,t)*exp(t*Mo*C^2*2*pi/i). Окончательноуточненное уравнение Шредингера принимает вид h/(i*2*pi)*df(x,y,z,t)/dt=-1/(2*Mo)*[h/(2*pi)]^2*{d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2}*f(x,y,z,t)+3/8*[h/(2*pi)]^4*{d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2}^2*f(x,y,z,t)+e*U*f(x,y,z,t) (3-ШF)
В случае если пренебречь участником 3/8*P^4/(Mo^3*C^2) для нерелятивистких скоростей электрона в атоме, то возможно из уточненного уравнения Шредингера взять уравнеие Шредингера, как его личный приближенный случай. Вторыми словами уточненное уравнение Шредингера есть легко обобщением уравнения Шредингера.
h/(i*2*pi)*df(x,y,z,t)/dt=-1/(2*Mo)*[h/(2*pi)]^2*{d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2}*f(x,y,z,t)+e*U*f(x,y,z,t) (4-ШF)
2.2) Уравнение Клейна-Гордона получается из второго уравнения (10.2), в случае если разглядеть случай отсутствия внешних полей для свободного электрона, то-есть принять A=0, U=0.
E^2=P^2+Mo^2*C^4 (1-КГ)
[h/(2*pi)]^2*d^2f(x,y,z,t)/dt^2=[h/(2*pi)]^2*{d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2}*f(x,y,z,t)-e*U*f(x,y,z,t)(2-КГ)
2.3) Уравнение Дирака получается из первого уравнения (10.1)посредством известной операции факторизации матричного корня sqrt[Mo^2*C^4+(P-e/c*A)^2*c^2] и векторизации волновой функции f(x,y,z,t).
