Торговля в одну сторону
Какой стратегии придерживаться трейдеру при односторонней торговли?
В свое время в книжке по теории возможностей (Розанов Ю.А. Лекции по теории возможностей, М.: Наука, 1968) особенное внимание автора привлекла задача о наилучшем выборе. Эта задача содержится в том, что наблюдатель, руководствуясь собственными параметрами, обязан выбрать из совокупности n предметов один – наилучший, последовательно просматривая их приятель за втором.
Серьёзной изюминкой данной задачи есть то событие, что, отвергнув уже рассмотренный предмет, к нему нельзя вернуться снова. Из этого направляться, что наблюдатель, сам того не ведая, может отвергнуть наилучший предмет в надежде отыскать еще более лучший при предстоящем осмотре. Помимо этого, для наблюдателя было бы неестественно останавливать собственный выбор на предмете, что заведомо хуже какого-нибудь уже рассмотренного предмета.
Так, при последовательном просмотре имеющегося комплекта предметов наблюдатель может выбрать первый из них (и на этом предстоящий осмотр заканчивается), или он будет продолжать перебор предметов , пока на каком-то этапе ему не попадется предмет, что лучше осмотренных ранее. Наблюдатель может выбрать данный предмет (и тогда предстоящий осмотр завершается) либо же продолжать осмотр для того, чтобы выбрать предмет значительно лучше и т.д.
Итак, в ходе перебора наблюдатель несет риск того, что возможно отвергнут наилучший предмет, и тогда он или уже ничего не выберет, или ему нужно будет довольствоваться самым последним, но, вероятнее, не самым лучшим предметом. Одновременно с этим, в случае если количество предметов громадно, то может оказаться нецелесообразным ограничиться первым попавшимся предметом и не попытать счастья отыскать, что-нибудь значительно лучше.
Подобную задачу приходится решать и трейдеру, что торгует лишь в одну сторону – или лишь реализовывает, или лишь берёт. В то время, когда он реализовывает, он обязан попытаться распознать большую цену дня, а в то время, когда берёт – его задача выяснить самую низкую цену дня.
Наряду с этим он несет все те риски, каковые нес и вышеупомянутый наблюдатель: другими словами, беря,трейдер может потерять самую низкую цену в надежде встретить цену еще более низкую и, напротив, при продаже возможно потеряна самая большая цена в расчете на то, что встретится еще более большая цена. Совершенно верно кроме этого трейдер неимеетвозможности возвратиться к лучшей цене, если она виделась, потому что успешный момент уже канул в прошлое.
И все-таки, не обращая внимания на родство и похожесть обеих задач, между ними имеется и отличия.
В вышеназванном книжке при рассмотрении обрисованной задачи ставился вопрос: в случае если наблюдатель сделал собственный выбор на k-м предмете, что был лучше всех прошлых (поэтому-то на него и пал выбор), то какова возможность того, что данный выбранный предмет окажется наилучшим среди всей совокупности как уже осмотренных, так и еще не осмотренных предметов? Ответ на поставленный вопрос находится следующим образом.
Разглядим два события:
1) событие B содержится в том, что из k рассмотренных предметов последний был самым лучшим, причем наблюдателю как мы знаем, что это событие случилось;
2) событие A пребывает в том, что k-й по счету предмет был лучшим во всей совокупности предметов; к сожалению, об этом возможно делать выводы лишь по окончании того, как просмотрена вся последовательность предметов.
Нужно определить, какова условная возможность события A, в случае если как мы знаем, что событие B случилось? На языке математики такая условная возможность записывается как P(A|B). Она находится по известной формуле условной возможности:
P(A|B) = P(AB)/P(B),
где в числителе возможность пересечения событий A и B (другими словами возможность того, что осуществляется и событие A, и событие B в один момент), а в знаменателе возможность события B. Ясно, что в нашем случае событие A содержится в B, а потому пересечение событий A и B сходится с событием A, другими словами P(AB) = P(A). Считается, что все вероятные размещения предметов равновероятны.
Возможность события B равняется возможности того, что при случайной перестановке k отличимых друг от друга предметов на порядковом месте k окажется наилучший. Эта возможность равна (k–1)!/k!, где k! – неспециализированное число перестановок из k предметов, а (k–1)! – число перестановок из первых (k–1) предметов, при условии, что на k-м месте закреплен наилучший. Иначе говоря P(B) = (k–1)!/k! = 1/k.
Совершенно верно кроме этого находится возможность события A – она равняется возможности того, что при случайной перестановке n отличимых друг от друга предметов на порядковом месте k окажется в полной мере конкретный – наилучший – предмет из всей совокупности разглядываемых предметов. Так что P(A) = (n–1)!/n! = 1/n. Соответственно, искомая условная возможность
P(A|B) = P(AB)/P(B) = P(A)/P(B) = k/n.
Из этого делается ясно, что чем больший порядковый номер имеет наилучший предмет из всех уже просмотренных, тем больше возможность, что он окажется лучшим и во всей совокупности. Вот из-за чего было бы неразумно ограничиваться выбором первого предмета. Рассмотренная задача является примеромслучайного поиска.
Особенности одностороннего трейдинга
Сейчас от сугубо математической задачи перейдем к конкретным проблемам, с которыми сталкивается трейдер на протяжении односторонней торговли. На протяжении торговли для трейдера было бы не через чур приемлемо опираться на случайный поиск. Было бы значительно лучше, если бы он имел возможность руководствоваться детерминированными способами.
Вероятно ли такое?
Дабы сказать конкретно, представим себе условный пример, в котором трейдер обязан в течение определенного периода времени реализовать имеющиеся у него доллары США за рубли. В начале каждого торгового периода трейдер приобретает текущую котировку и обязан сделать выбор: принять ее либо же подождать более удачного курса.
Но в отличие от задачи, рассмотренной во введении, трейдер в общем случае имеет возможность поделить начальное количество долларов на части и осуществлять их продажу последовательно – каждую часть по собственному обменному курсу. Ясно, что такая более неспециализированная схема торговли может привести к более высокой прибыли.
Нетрудно додуматься, что эффективность исполнения трейдером всего торгового задания, будет определяться числом рублей, которое он возьмёт по окончании окончания торгового периода в следствии продажи долларов. Наряду с этим дабы не усложнять анализа, мы не будем тут учитывать возможность инвестирования рублей, взятых на начальной стадии, до окончания торгового горизонта.
Дабы оценить эффективность одностороннего трейдинга, нам нужно разглядеть последовательность понятий конкурентного анализа.
Пускай P = (Z,F,U) является задачеймаксимизации прибыли P, где Z – множество всех вероятных последовательностей обменных направлений, генерируемых рынком в течении разглядываемого периода времени; для каждого IZF(I) воображает множество вероятных ответов трейдера для конкретной последовательности обменных направлений, а U – функция полезности, зависящая от I (определенной последовательности обменных направлений) и множества ответов трейдера OF(I).
Допустим, что ALG представляет собой любой метод, которым руководствуется трейдер для решения проблемы P – максимизации прибыли. Для любого данного I, как раз ALG вычисляет OF(I). Обозначим прибыль (либо доход), полученный методом ALG на входных данных I как ALG(I) = U(I,O).
Любой вариант входных разрешённых может быть представлен конечной последовательностью I = i1, i2,,in, а варианты вероятных ответов O также будут быть представлены конечной последовательностью O = o1, o2,, on.
Метод ALG будет именоваться сетевым, в случае если для каждого t = 1, 2, , n-1, ALG обязан вычислить ответ ot перед тем, как будет получено следующее входное значение it+1. И, наоборот, назовем метод оффлайновым, если он имеет возможность генерировать допустимые ответы, имея «перед собой» всю входную последовательность полностью. Оптимальный (другими словами самый действенный) оффлайн метод обозначим OPT.
По определению, для каждой последовательности входных данных (обменных направлений либо стоимостей) I доход OPT возможно представить как OPT(I) =supOF(I)U(I,O). Иначе говоря OPT метод постоянно даёт максимум полезности (прибыли либо дохода). Оно и не мудрено – OPT метод «видит» всю последовательность входных данных в целом, а задним умом каждый крепок.
Апостериори (другими словами по окончании опыта) любой может выяснить, какие конкретно ответы были бы наилучшими.
Так, OPT метод есть эталоном, а, следовательно, может послужить базой для меры того, как действенно (другими словами близко к эталону) совершил всю операцию трейдер, трудясь в отличие от OPT метода в настоящем времени, в противном случае говоря, не имея перед собой всей последовательности входных данных, а приобретая любой последующий ее элемент (друг за другом) лишь с течением времени.
В качестве меры эффективности вводится конкурентное отношение c:
c = (1)
Для отечественного конкретного случая в числителе будет количество рублей, каковые взял бы OPT метод на входной последовательности I – это предельное число, которое возможно «выжать» на данной последовательности, а в знаменателе будет количество рублей, каковые реально возьмёт отечественный трейдер на той же самой входной последовательности обменных направлений, трудясь в настоящем времени.
Ясно, что в самом неспециализированном случае значение c ≥ 1. В случае если значение c = 1, значит, трейдер сработал идеально – лучше выполнить торговое задание в рассмотренных условиях легко запрещено. На практике этого достигнуть, конечно же, нереально (разве что случайно), не смотря на то, что чем ближе значение с к 1, тем выше должна быть оценка качества работы трейдера. И все-таки, необходимо наблюдать на вещи трезво и задаваться правдоподобными и настоящими значениями конкурентного отношения c.
Мельчайшее конкурентное отношение c, которого достигает ALG, именуется конкурентным отношением ALG. В этом случае возможно заявить, что ALG достигает конкурентного отношения c либо, что ALG есть c-конкурентным методом.
Конкурентное отношение помогает, так, показателем эффективности в самых негативных условиях. Любой c-конкурентный онлайн-метод гарантирует доход равный, по крайней мере, (1/c) части прибыли, взятой оптимальным оффлайн методом, независимо от того, как негативным и переменчивым окажется будущее. Это направляться из формулы (1) в следствии несложного преобразования:
ALG(I) = OPT(I).
Фактически говоря, применение конкурентного отношения для измерения эффективности онлайн-методов и представляет собой конкурентный анализ. Основная изюминка в применении конкурентных взаимоотношений для анализа онлайн методов содержится в том, что нет необходимости опираться на статистическое моделирование входных последовательностей (скользящие средние и т.п.). Дело в том, что часто бывает очень сложно создать реалистичные статистические модели для вероятного входа (каковые неизменно во многом зависят от конкретного приложения).
Эта трудность еще более усугубляется в условиях сложных динамических сред, в качестве которых довольно часто выступают экономические совокупности. По данной причине стратегии принятия денежных ответов являются весьма привлекательной сферой для конкурентного анализа. Более того, часто при принятии денежных ответов более нужно обеспечить некий минимальный уровень прибыльности, чем сохранять надежду на ожидание более высокой средней прибыли в условиях подверженности большому риску.
По сути, это именно то, что и предлагает конкурентный анализ.
Преимуществом конкурентного отношения есть то, что оно предлагает единый показатель эффективности, в соответствии с которым каждые две стратегии сопоставимы в некоем фундаментальном смысле. Но направляться осознавать, что неприятие риска, которое связано с конкурентным отношением, часто может выступать в качестве недочёта, потому, что подобная мера эффективности может привести к чрезмерно «оборонительным» методам.
В конечном итоге, всегда, в то время, когда лица, принимающие ответы имеют некоторые сведенья со стороны либо определенные (а также статистические) знания о развитии последовательностей входных данных было бы непростительно проигнорировать их, а именно это делают методы, каковые ориентированы на конкурентное соотношение. Предпринимались попытки объединения чистого конкурентного анализа с применением прогнозов (в виде частичного знания о будущем входных последовательностей) с сохранением естественного рвения к уклонению от риска, которое свойственно конкурентному отношению. Но осуждение их уведет нас на большом растоянии в сторону.
Построение c-конкурентных онлайн-методов
По окончании нужных теоретических пояснений мы можем, наконец, обратиться к практическому созданию c-конкурентных онлайн-методов. Как уже отмечалось, такие методы основаны на уклонении от риска падения обменного курса.
Пускай с есть произвольным конкурентным отношением, которое возможно достигнуто некоторым методом односторонней торговли; мы думаем, что с известно трейдеру – он определяет для себя приемлемый уровень конкурентного отношения (либо ему его определяют). Сейчас создадим c-конкурентный онлайн метод, которого обязан придерживаться трейдер, ведущий торговлю в одну сторону. Данный метод базируется на весьма несложных правилах, которых всего два.
Применительно к нашей задаче – продаже S0 долларов за рубли – эти правила формулируются следующим образом.
ПРАВИЛО 1. Разглядываем возможность продажи долларов за рубли лишь тогда, в то время, когда текущий курс рубля есть самым высоким из всех, каковые наблюдались до сих пор.
ПРАВИЛО 2. Всегда, в то время, когда доллары США продаются за рубли, реализовывать нужно столько, сколько нужно чтобы обеспечивать, что конкурентное отношение с будет достигнуто, даже в том случае, если «Его Величество Рынок» уронит обменный курс рубля до минимально вероятного значения и удержит его на этом уровне в течение всего оставшегося периода времени.
Эти два правила применимы в течении всего временного горизонта, за исключением его конечной точки, в то время, когда в соответствии с условию трейдер должен будет реализовать все оставшиеся доллары США за рубли, хотя бы и по невыгодному курсу.
Минимально вероятное значение, о котором говорится во втором правиле, определяется в соответствии с информацией, известной трейдеру. Мы в будущем будем исходить из того, что обменные направления колеблются в промежутке [m,M], где m – минимальное значение (самый низкий курс рубля), а M – большое значение (самый большой курс рубля), причем коэффициент колебания курса f = M/m.
Так, минимально вероятное значение курса возможно представлено величиной m, в случае если m известно; в другом случае это возможно значение равное (i)/f, в случае если известно лишь f и (i) есть самым высоким курсом (либо ценой, в случае если вести обращение о полезных бумагах), каковые наблюдались до сих пор. Помимо этого, мы будем исходить из того, что нам известен временной горизонт, за который нужно реализовать все доллары США.
На начальной стадии может показаться неясным, как направляться указанной линии поведения, в особенности, как направляться Правилу 2, которое требует осуществлять продажу для того чтобы количества американских долларов, которое гарантирует достижение конкурентного соотношения c. Но предположим, что возможно вычислить количество, предусмотренное Правилом 2, и представим метод, что направляться данной линии поведения. Отметим, что таковой метод реализовывает доллары США за рубли в условиях уклонения от риска падения обменного курса до минимально вероятного значения. Использование Правил 1 и 2 поясним на нескольких тривиальных примерах.
Пример 1. Обменные направления не изменяются
Имеем следующую входную последовательность обменных направлений:
I1: i1 = i2 == in = m =M.
Посколькув этом случае f = M/m = 1, то нетрудно видеть, что и оффлайн метод OPT, и отечественный онлайн метод ALG получат одинаково, другими словами возьмут по mS0 рублей. И тогда конкурентное отношение, рассчитываемое по формуле (1), будет равняется
c = mS0/mS0 = 1.
Данный пример через чур уж тривиальный, а потому скучен.
Пример 2. По окончании первого обменного курса происходит «обвал»
Имеем следующую входную последовательность обменных направлений:
I2: M = i1 = cm; i2 == in = m, где c ≥ 1 – это конкурентное отношение, которого требуется достигнуть, а m – минимально вероятное значение обменного курса.
Ясно, что в этих условиях оптимальный оффлайн метод OPT получит максимум, в частности S0cm рублей.
Что же касается отечественного трейдера, то тут разглядим две ситуации.
В первой ситуации трейдер отказывается реализовывать доллары США за рубли по курсу i1 = cm в надежде на более удачный курс. Но в конечном итоге вышло так, что фортуна повернулась к нему задом, и он должен в последний момент все доллары США реализовать по минимально вероятному курсу, выручив за них S0m рублей – итог хуже, чем у оптимального метода. Вычислим конкурентное отношение для этого случая:
c = S0cm/S0m = c.(2)
Как это ни страно, но, кроме того отказавшись торговать по первому – самоё выгодному – обменному курсу, трейдер все-таки достиг конкурентного отношения, к которому стремился. Мораль: уклонившись от продажи долларов при, в то время, когда первый обменный курс i1 ≤ cm, трейдер, кроме того в условиях негативного развития предстоящих событий, может добиться требуемого конкурентного отношения c, чего не сообщишь, в то время, когда i1cm.
Во второй ситуации трейдер решается заключить сделку по первому обменному курсу в соответствии с правилом 1 метода, потому, что по условию этому обменному курсу ничего не предшествует, а потому он есть самым высоким сейчас. Трейдер решает реализовать s1 долларов. Тогда его выручка в рублях составит:
s1cm + (S0 – s1)m = S0m + s1m(c – 1).
Посмотрим, каким будет конкурентное отношение в этом случае:
c’ = S0cm / [S0m + s1m(c – 1)]. (3)
В случае если учесть, что при однообразном числителе знаменатель дроби в формуле (3) больше, чем знаменатель в формуле (2), то делается ясно, что c’c. Это указывает, что во второй ситуации трейдер в основном приблизился к результату оптимального оффлайн метода.
Пример 3. По окончании первого обменного курса происходит обвал, но i1cm
Входная последовательность обменных направлений такова:
I3: M = i1cm; i2 == in = m, где c ≥ 1 – это конкурентное отношение, которого требуется достигнуть, а m – минимально вероятное значение обменного курса.
Пример 2 был искусственно подобран так, что трейдер, кроме того отказавшись реализовывать доллары США по первому обменному курсу, все равно достигал нужного конкурентного отношения. Тут мы снимаем ограничение на величину первого обменного курса, а потому трейдер должен будет торговать в соответствии с правилом 1, руководствуясь наряду с этим и правилом 2.
В условиях входной последовательности I3 оптимальный оффлайн метод возьмёт выручку в рублях равную S0i1.
У трейдера, трудящегося в онлайне, выручка составит:
s1i1 + (S0 – s1)m = S0m + s1(i1 – m).
Потому, что трейдер обязан обеспечить конкурентное отношение c, то возможно записать уравнение:
c = S0i1 / [S0m + s1(i1 – m)],(4)
в котором малоизвестной величиной есть лишь s1 – количество американских долларов, реализовываемых по первому обменному курсу (целевое значение конкурентного отношения c трейдер выяснил перед торговлей , исходя из этого оно известно). Ответ уравнения (4) дает:
s1 = (S0 /c)•[(i1 – cm)/(i1 – m)]. (5)
Так, значение s1 находится по формуле (5).
Пример 4. Неспециализированный случай
Входная последовательность обменных направлений:
I4: i1, i2,, in.
Разглядим первый трейд (обменный курс i1). Так как текущий курс есть самым высоким из наблюдавшихся до сих пор (мы с него и начали наблюдение), онлайн метод ALG, которым руководствуется трейдер, предполагает совершение торговой операции. Потому, что конкурентное отношение с достигается этим торговым методом, существует некое s1 ≥ 0 такое, что отношение с будет все еще достижимым, в случае если s1 долларов будут реализованы за рубли.
Помимо этого, выбранное количество долларов s1 таково, что конкурентное отношение с будет гарантировано кроме того в случае если потом отправится постоянное понижение обменного курса рубля и никакие предстоящие торги не будут проводится (за исключением одной последней сделки, реализовывающей оставшиеся доллары США по минимально вероятному обменному курсу). В частности, нет никакой необходимости разглядывать любой обменный курс, что меньше, чем i1.
Значение s1 находится по формуле (5).
Затем онлайн метод ALG осуществляет анализ входящей последовательности на предмет поиска значения обменного курса iki1 (неравенство строгое).
Когда значение ik будет отыскано, онлайн метод ALG начинает решать задачу односторонней продажи (S0 – s1) долларов за рубли на укороченной входящей последовательности I 4: ik,,in. Как решается эта задача мы уже видели выше.
Потому, что подобные рассуждения смогут быть использованы для обоснования выбора сумм для остальных торговых операций, то такая линия поведения снабжает с-конкурентность метода. Поэтому-то мы не будем больше утомлять читателя новыми выкладками и формулами, а просто предлагает применить аналогию и индукцию. Это разрешит возможность определять количество американских долларов, которое будет продаваться онлайн методом при нахождении каждого нового более удачного обменного курса.
Нельзя не отметить, не смотря на то, что мы на этом не заостряли внимания, что в общем случае издержки по получению котировок и комиссионные будут оказывать влияние на конкурентное отношение. В частности, в то время, когда вводятся фиксированные операционные издержки, конкурентное отношение возрастает. В то время, когда же операционные издержки определяются фиксированным процентом от цены, конкурентное отношение будет улучшено.
И лишь при, в то время, когда операционные затраты определяются фиксированным процентом торгуемой суммы, конкурентное отношение любого метода одностороннего трейдинга не зависит от операционных затрат.
