P-адические числа для чайников.
Впредыдущей статьеразвернулась дискуссия по поводу следующей идеи: а что будет, в случае если в простом вещественном числе символ запятой заменить на численный знак.
(Скажем, пускай у нас имеется бинарное число — 101,0100011011… Заменяя запятую на знак 2 мы приобретаем некое число, но уже записанное в троичной совокупности — 10120100011011…
Нужно заявить, что и обсуждение и сама статья соответственно, хоть оно и было плодотворно,ушли пара в сторону от предполагаемой мной «главной линии развития сюжета». В связи с чем я и публикую на данный момент способом копипаста данный превосходный материал, что мне удалось обнаружитьпросторах сети. Материал данный, как я надеюсь, послужит в качестве вводного к уже пара вторым вещам, таким как — математическое описаниепространства-времени и сознания.
Предисловие
В математике существуют очень увлекательные сущности называющиеся p-адические числа. По сути ничего сложного в них нет. Но в энциклопедиях и учебниках они вводятся так, что непосвящёному весьма тяжело осознать, о чём идёт обращение.
В данной статье сделана попытка растолковать p-адические числа «для чайников».
Для начала вводятся новые математические объекты, условно названные «квазибесконечными числами» и описываются кое-какие их свойства. А после этого показывается, как от них перейти к p-адическим числам.
Определение.
«Квазибесконечным числом» (КБЧ) именуется нескончаемая последовательность цифр (из какой-либо совокупности счисления, к примеру десятичной), идущая справа налево.
Пример: …3819248393684028831439284578
Эти числа названы «квазибесконечными», по причине того, что они кажутся нескончаемыми, но в действительности не являются таковыми.
Арифметические операции.
Сумма двух КБЧ вычисляется справа налево по простому способу сложения столбиком (вычисляется сумма двух цифр очередного разряда, прибавляется единица при наличии переноса из прошлого разряда, после этого определяется цифра суммы данного разряда и наличие переноса в следующий разряд). [В нижеприведённых таблицах наличие переноса обозначается чертой над соответствующей цифрой.] К примеру:
…204591038205
+
…436103493293
…640694531498
Подобно вычисляется разность двух КБЧ (лишь вместо переноса тут заимствование из следующего разряда).
…204591038205
—
…436103493293
…768487544912
Умножение кроме этого вычисляется по простом способу умножения столбиком, как сумма нескончаемого последовательности слагаемых.
Деление осуществляется подбором цифр справа налево, применяя тот факт, что для вычисления n последних (правых) цифр произведения достаточно перемножить числа, образованные n последними цифрами сомножителей. (Деление выполняется несложнее, в случае если основание совокупности счисления — простое число, в противном случае появляются неоднозначности в подборе цифр.)
Целые числа.
Разглядим те КБЧ, в которых влево от некоей позиции идут одни нули, к примеру:
…000000, …000001, …000002, …001936, …
Нетрудно подметить, что такие числа при умножении и сложении ведут себя как простые неотрицательные целые числа.
Целые отрицательные числа.
Попытаемся вычесть из нуля (…00000) единицу (…00001). Формально следуя методу вычитания столбиком с заимствованием из следующего разряда, мы возьмём …99999. Опять вычитая единицу, мы возьмём …99998, …99997 и т. д. Нетрудно подметить, что это простой дополнительный код, обширно применяемый в компьютерах для представления отрицательных чисел (не смотря на то, что в компьютерах в большинстве случаев употребляется бинарная совокупность, а не десятичная).
Так, чтобы получить -x(т. е. число, которое при сложении с x даёт …00000), необходимо:
1) Каждую цифру xi заменить на (N-1)-xi(где N — основание совокупности счисления)
2) К оказавшемуся числу прибавить …00001.
К примеру, в десятичной совокупности:
-…000000023 = …999999977
В бинарной совокупности:
-…000000101 = …111111011
Так, те КБЧ, в которых влево от некоей позиции идут одни лишь громаднейшие цифры данной совокупности счисления, возможно отождествить с простыми отрицательными целыми числами.
Дроби.
Разглядим число …11111 (складывающееся из одних единиц). Нетрудно подметить, что …11111 х …00009 = …99999
(т. е. -1). Исходя из этого можно считать, что …11111 = -1/9. Дополнение к …11111 (т. е. …88889) будет равняется +1/9.
Конечно высказать предположение, что всякое периодическое КБЧ (т. е. такое, в котором слева от некоего разряда идёт вечно повторяющаяся последовательность цифр) воображает некую дробь (т. е. при умножении периодического КБЧ на некое конечное число возможно взять конечное число).
Теорема. В случае если основание совокупности счисления N — простое число, то для любого числа x, не кончающегося на 0, существует обратное число x-1 (т. е. такое, что x · х-1=1).
Подтверждение. Докажем, что мы сможем подобрать последнюю цифру числа x-1, а после этого попеременно все остальные, так, дабы последняя цифра произведения была 1, а все остальные 0.
Пускай x0 — последняя цифра числа x; подберём y0 — последнюю цифру числа x-1. Потому, что простой системы и основание — счисления число, то при вычислениях по модулю N для любого x0 (не равного 0) мы можем отыскать такое y0, что x0 · y0 = 1.
Потом, исходя из метода умножения столбиком, для очередной цифры xi мы подберём цифру yi по уравнению
x0 · yi + xi · y0 + C = 0
(вычисления осуществляются по модулю N;C — «довесок», образующийся от перемножения прошлых цифр).
Потому, что x0 не равняется 0, то это уравнение неизменно разрешимо. Теорема доказана.
Следствие. В случае если основание совокупности счисления — простое число, то возможно дробить (без остатка) на любое число, не кончающееся на 0.
Примеры дробей (повторяющаяся последовательность цифр заключена в скобки).
В десятичной совокупности:
1/3 = …(6)7
1/7 = …(285714)3
1/11 = …(09)1
В троичной совокупности:
1/2 = …(1)2
1/11 = …(02)1
1/12 = …(1210)2
В бинарной совокупности:
1/11 = …(01)1
1/101 = …(0110)1
1/111 = …(011)1
Неэквивалентность различных совокупностей счисления. (!!! обратите на это внимание. Б.М.)
В десятичной совокупности возможно представить 1/3 (как …66667), но нельзя представить 1/2 — потому, что при умножении на 2 последняя цифра постоянно получается чётной, а у нас обязана оказаться единица. В троичной совокупности, напротив, возможно представить 1/2 (как …11112), но нельзя представить 1/3 (при умножении на 3 = 103 последняя цифра постоянно получается равной 0, а обязана оказаться единица).
Так, возможно подметить, что в данной совокупности счисления возможно представить в виде КБЧ лишь те (несократимые) дроби, у которых знаменатель есть взаимно несложным с основанием совокупности счисления. Исходя из этого КБЧ, записанные в одной совокупности счисления, смогут не иметь никакого соответствия в второй совокупности счисления.
Квадратные корни.
Пример. В десятичной совокупности нетрудно извлечь квадратный корень из …00004 — это будут …00002 и …99998 (ясно, что квадратные корни постоянно появляются парами).
Теорема. В случае если основание совокупности счисления N — простое число, большее 2, то для любого числа x, не кончающегося на 0, существует квадратный корень vx, при условии, что существует число y0, которое при возведении в квадрат по модулю N даёт число, равное последней цифре x.
Подтверждение. Последняя цифра корня y0 известна из условия. Подберём очередную цифру корня yi.
Исходя из метода умножения столбиком
2 · yi · y0 + C = xi
(вычисления осуществляются по модулю N, xi — очередная цифра исходного числа;C — «довесок», образующийся от перемножения прошлых цифр).
Потому, что y0 ? 0, а N — простое число, большее 2, то это уравнение неизменно разрешимо. Теорема доказана.
Пример 1. В 7-ричной совокупности счисления v2 = …266421216213 и …400245450454 (тут уже нельзя определить, какой корень хороший, а какой отрицательный).
Пример 2. В 7-ричной совокупности счисления нельзя записать v3, потому, что никакое целое число при возведении в квадрат по модулю 7 не даёт 3 (т. е. нельзя подобрать последнюю цифру).
Пример 3. В 11-ричной совокупности счисления v3 = …761192486 и …349918625.
Комплексные числа.
В некоторых совокупностях счисления возможно вычислить корень из ?1 (в тех совокупностях, где одна из цифр при возведении в квадрат по модулю N (основание совокупности счисления) даёт N?1 (т. е громаднейшую цифру)).
Пример 1. В 5-ричной совокупности счисления v?1 = …412013233 и …032431212 (при возведении в квадрат они дают …444444444, т. е. ?1; выяснить, какое из этих двух чисел равняется i, а какое ?i, нереально).
Пример 2. В 7-ричной совокупности счисления нельзя записать v?1, потому, что никакое целое число при возведении в квадрат по модулю 7 не даёт 6 (т. е. нельзя подобрать последнюю цифру).
Пример 3. В 7-ричной совокупности счисления v?3 = …20155410615 и …46511256052 (при возведении в квадрат они дают …66666666664, т. е. ?3).
Пример 4. В 13-ричной совокупности счисления v?1 = …101550155 и …BCB77CB78 (при возведении в квадрат они дают …CCCCCCCCC, т. е. ?1).
Складывая и умножая мнимую единицу с другими числами, возможно приобретать разные комплексные числа.
Вычислимые КБЧ.
Вычислимым КБЧ назовём такое, для которого существует метод, выдающий по порядку (справа налево) все цифры данного КБЧ (в заданной совокупности счисления). Не смотря на то, что общее число КБЧ несчётное, количество вычислимых КБЧ счётное (потому, что мы думаем, что метод — это некоторый конечный текст в конечном (либо счётном) алфавите, а количество таких текстов — не более чем счётное).
Ясно, что все конечные и периодические КБЧ являются вычислимыми.
Сумма, произведение и разность двух вычислимых чисел кроме этого являются вычислимыми (потому, что они вычисляются справа налево, а по окончании вычисления очередной цифры к ней уже не приходится возвращаться).
В случае если основание совокупности счисления — простое число, то деление вычислимых чисел и извлечение квадратного корня из вычислимого числа кроме этого являются вычислимыми числами. (Быть может, что эти операции являются вычислимыми для любой совокупности счисления, но это нужно доказать.)
Преобразование в другую систему счисления время от времени есть вычислимым, время от времени нет.
КБЧ с дробной частью.
В случае если пара цифр отделить десятичной точкой, то возможно будет уже в любой совокупности счисления записывать каждые дроби (обратите внимание, что тут целая часть нескончаемая, а дробная конечная). К примеру, в десятичной совокупности:
1/5 = …00000.2
1/300 = …666666.67
Однако квадратные корни, каковые не извлекались в числах без десятичной точки, остаются неизвлекаемыми и тут, так что различные совокупности счисления остаются неэквивалентными кроме того при введении конечной дробной части.
Модуль квазибесконечного числа
Определим модуль ?a? квазибесконечного числа a в совокупности счисления по основанию N следующим образом:
в случае если это целое число, не равное нулю, то ?a? равен N?k, где k — количество подряд идущих нулей справа
в случае если это дробное число, то ?a? равен Nk где k — количество цифр в дробной части (нули в хвосте не считаются).
?0? = 0
Модуль владеет простыми особенностями модуля, к примеру:
?a+b? ? ?a? + ?b?
В случае если N — простое число, то правильно и
?a · b? = ?a? · ?b?
Но имеется и необыкновенные особенности, к примеру, в случае если а?b, то
?a+b? = max (?a?, ?b?)и
?a+b? = ?a?b?
В случае если N — составное число, то
?a · b? ? ?a? · ?b?
p-адические числа
Сейчас возможно растолковать, что такое p-адические числа. Они практически не отличаются от вышеописанных КБЧ, но имеют следующие изюминки:
Основание совокупности счисления — неизменно простое число.
Цифры записываются в обратном порядке если сравнивать с вышеописанным (т. е. нескончаемый хвост уходит вправо, а не влево; но это только форма записи, сущность от этого не изменяется).
Сами цифры именуются «p-адическими цифрами».
Подробнее см.Википедия:p-адическое число.
Источник
—————————————————————-
Как вы видите — КБЧ число по сути ничем не отличается от того самого… простого вещественного числа, у которого символ запятой заменён определённым цифровым знаком. Отличие, опять-таки, только в порядке записи цифр — не слева направо, а напротив. И совершенно верно кроме этого это направление сути дела не меняет. И совершенно верно кроме этого я желал двигаться от той идеи дальше… в сторону соотношения её с несложными числами. Видит Всевышний — Андрей Владимирович Лукьянов сделал это куда лучше.
А я отвлёкся в сторону, в следствии чего вышло то, что вышло.
Ну и напоследок пара слов о том, что будет в следующих статьях. Согласно точки зрения некоторых свойства пространства и времени оптимальнееобрисовывать как раз такими, странноватыми на первый взгляд и непривычными p-адическими числами. Хуже того… кое-какие считают, что ими кроме этого возможно обрисовать и сознание, как таковое.
Вот об этом обращение и отправится.
