Простейшие геометрические построения

Построением именуется графический метод ответа геометрических задач на плоскости при помощи чертежных инструментов.

Простейшие геометрические построения

Рис. 1. Построение параллельных прямых: а — при треугольника и помощи циркуля; б — при помощи двух треугольников.

Построение параллельных прямых.

Через точку А, лежащую вне прямой ВС, совершить прямую, параллельную ВС.

а) При треугольника и помощи циркуля (рис. 1, а). Приняв за центр произвольно расположенную на прямой ВС точку М, проводим при помощи циркуля дугу радиусом, равным AM, которая пересечет прямую ВС в точке N. Из точки А тем же радиусом, равным AM, проводим вторую дугу.

Из точки М радиусом, равным AN, на данной дуге делаем засечку, приобретаем точку D. Через точки А и D при помощи треугольника проводим прямую, которая будет параллельна прямой ВС.

б) При помощи двух треугольников (рис. 1, б). Прикладываем катетодного треугольника к данной прямой ВС.

К второму катету прикладываем второй треугольник и передвигаем первый треугольник по стороне второго в направлении, указанном стрелкой, до точки А. Через точку А на протяжении катета треугольника проводим прямую, которая будет параллельна данной прямой ВС.

Деление отрезка прямой на равные части и построение перпендикуляров

1. Поделить прямую АВ на две равные части и выстроить перпендикуляр в середине отрезка.

а) При треугольника и помощи циркуля (рис. 2). Из финишей отрезка АВ, как из центров, проводим две дуги радиусом R, размером пара громадным половины отрезка.

Через точки пересечения дуг С и D проводим прямую, которая в точке Е поделит этот отрезок АВ на две равные части и одновременно с этим будет перпендикуляром к отрезку АВ, совершённому через его середину.

б) При помощи двух треугольников (рис. 3). На отрезке прямой АВ дана точка С. Требуется выстроить отрезок прямой, перпендикулярный к отрезку АВ.

Для построения подводим к отрезку АВ вероятно правильнее треугольник одним из его катетов. Оставляем данный треугольник неподвижным, подводим к его гипотенузе второй треугольник, оптимальнеегипотенузой. После этого оставляем неподвижным второй треугольник, двигая первый по ребру второго, пока его второй катет не приблизится к точке С. Через заданную точку проводим прямую, которая и будет перпендикулярна к данной прямой АВ.

Рис. 2. Деление отрезка на две части и построение перпендикуляра к нему.

Рис. 3. Построение перпендикуляра к прямой в заданной точке.

Рис. 4. Деление отрезка на пять равных частей.

Рис. 5. Построение уклона к прямой.

Рис. 6. Определение конусности.

2. Отрезок АВ поделить на любое число равных частей.

Допустим, что отрезок АВ нужно поделить на пять равных частей (рис. 20). Из любого финиша отрезка проводим луч под произвольным углом. На протяжении луча при помощи циркуля откладываем пять равных отрезков произвольной длины.

Соединяем взятую точку 5 на луче с финишем отрезка В. Передвигая треугольник параллельно линии 5В, через точки 4, 3, 2, 1 проводим линии, каковые в точках пересечения с отрезком АВ поделят его на пять равных частей.

Построение конусности и уклонов

конусности и Величины уклона возможно выразить дробью, процентами либо углом в градусах. Уклоном прямой AD по отношению к прямой АВ именуется отношение катетов прямоугольного треугольника ACD, т. е.

Разглядим построение линии с уклоном 1 : 10. Откладываем на прямой АВ, по отношению к которой строится уклон, десять (единиц) отрезков, равных 10 мм любой; возьмём точку С. Из данной точки восстановим перпендикуляр к прямой АВ, на котором отложим отрезок, равный 10 мм (одной единице); возьмём точку D. Соединив точки А и D, строим линию уклона 1 : 10.

Построение вторых уклонов производится подобно. Для определения величины уклона прямой достаточно измерить катеты и определить их отношение.

Конусностью именуется отношение разности диаметров “двух поперечных сечений конуса к расстоянию между ними (рис. 22), т. е. K = D~d, где D — диаметр большего основания конуса; d — диаметр меньшего основания конуса; I — протяженность усеченного конуса.

Следовательно, конусность равна 1 : 10, либо 10%.

Построение углов

а) При помощи линейки и двух тре-угольниковс углами 30, 60, 90° и 45, 45, 90° производится легко и просто. На рис. 23 приведено построение углов от 15 до 165°.

б) При линейки и помощи циркуля. 1. Поделить прямой угол на два равных угла по 45° (). Для деления прямого угла пополам из вершины О угла АОВ, как из центра, проводим дугу произвольным радиусом R до пересечения ее со сторонами угла в точках а и b. Из точек а и b произвольным радиусом Ra, громадным, но, половины длины дуги ab, проводим дуги до пересечения их в точке К (в этом случае радиус Ra возможно забрать равным радиусу R).

Точку К соединяем с точкой О. Прямая КО дробит угол АОВ пополам, следовательно, углы АОК и КОВ равны любой 45°. Прямая КО, дробящая угол пополам, есть биссектрисой угла.

Рис. 7. Построение углов при помощи линейки и двух треугольников.

Рис. 8. Деление прямого угла: а — на две равные части; б — на три равные части.

2. Поделить прямой угол натри равные части. Из вершины О прямого угла АОВ, как из центра, проводим дугу произвольным радиусом R до пересечения ее со сторонами угла в точках а и Ь. Из точек b и а тем же радиусом проводим две дуги Ос и Od до их пересечения с первой дугой ab в точках с и d. Соединив точки с и d с точкой О, возьмём три угла, любой из которых равен 30°.

Деление окружности на равные части и вписывание в нее верных многоугольников

1. Поделить окружность на три части и вписать в нее верный треугольник.

Из финиша какого-либо диаметра, к примеру из точки В, как из центра, проводим дугу радиусом R, равным радиусу окружности. Пересечение данной дуги с окружностью даст точки С и D. Соединив их с точкой А и между собой, возьмём верный треугольник A CD, вершины которого поделят окружность на три равные части.

2. Поделить окружность на четыре и восемь равных частей и вписать в нее правильный восьмиугольник и квадрат.

Двумя взаимно перпендикулярными диаметрами окружность уже поделена на четыре равные части. Соединив финиши диаметров ABCD прямыми, возьмём вписанный в окружность квадрат ABCD. В случае если в окружность нужно вписать квадрат со сторонами, параллельными полю чертежа, нужно поделить дуги АВ и ВС на две равные части.

Деление дуг производится совершенно верно равно как и деление отрезка на две равные части. Из точек А, В и С, как из центров, проводим, дуги радиусами, пара громадными половины дуги ВС либо АВ. Точки пересечения этих дуг Е и F соединяем с центром окружности О и продолжаем до пересечения с противоположными дугами AD. и DC.

При пересечении этих прямых с окружностью приобретаем точки К, L, М и N. Соединив их последовательно между собой, возьмём квадрат KLMN, вписанный в окружность, вершины которого поделят окружность на четыре равные части.

Рис. 9. Деление окружности на равные части и вписывание в нее треугольника (а), квадрата (б) и восьмиугольника (в).

Соединив последовательно точки A, L, В, М, С, N, D, К, А, возьмём верный восьмиугольник ALBMCNDK, вершины которого поделят окружность на восемь равных частей.

Нахождение центра окружности либо дуги и определение величины радиуса

Отыскать центр данной дуги.

Намечаем три произвольно расположенные на дуге точки Л, Б и С и соединяем точку А с точкой В, а точку В с точкой С прямыми линиями, каковые являются хордами. В середине каждой хорды восстанавливаем перпендикуляр. Точка О пересечения перпендикуляров есть искомым центром дуги, а расстояние от точки О до любой точки данной дуги будет величиной радиуса, которым совершена дуга.

определение центра величины и Нахождение окружности ее радиуса производится таким же методом.

Построение сопряжений

Сопряжением именуется плавный переход одной линии в другую.

Построение сопряжений основано на особенностях прямой, касающейся окружности, либо на особенностях касающихся между собой дуг окружностей.

Разглядим два главных случая построения сопряжений.

1. Сопряжение прямой линии с дугой окружности. Для получения плавного перехода от прямой линии к дуге окружности необходимо, дабы центр окружности был на перпендикуляре к прямой, совершённой в точке касания.

Построение сводится к проведению касательной прямой к окружности в точке п, расположенной на окружности (рис. 27). Проводим окружность с центром в точке О радиусом R, а из точки п восстанавливаем перпендикуляр АВ к отрезку пО.

Прямая АВ будет искомой касательной к окружности в точке п. Точка О именуется центром сопряжения, R — радиусом сопряжения, п — точкой сопряжения (касания).

Рис. 10. определение центра и Нахождение дуги ее радиуса.

2. Сопряжение двух дуг окружностей. Видятся два случая сопряжения дуг окружностей: дуги имеют внешнее касание; дуги имеют внутреннее касание.

Плавный переход от одной дуги к второй в этих обстоятельствах достигается лишь тогда, в то время, когда точка их касания лежит на прямой линии ООъ соединяющей центры сопрягаемых дуг.

Рис. 11. Сопряжение прямой линии с дугой окружности.

Рис. 12. Сопряжение дуг: а — с внешним касанием; б — с внутренним касанием.

Рис. 13. Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса: а — внешнее сопряжение; б — внутреннее сопряжение.

При внешнем касании расстояние между центрами 00х равняется R + г, т. е. сумме радиусов сопрягаемых дуг. При внутреннем касании это расстояние равняется R — г, т. е. разности радиусов сопрягаемых дуг.

Внешнее сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса. При внешнем касании дуги заданного радиуса R двух окружностей центр дуги сопряжения А относительно окружностей радиусов Ri и Rz будет лежать в точке пересечения двух концентрических окружностей, совершённых из центров Ох и 02 радиусами, равными сумме радиусов R + Ri и R + R2 соответственно.

Точки касания К будут лежать на линиях, соединяющих центры 01 ц 02 с точкой А.

Внутреннее сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса. При внутреннем касании дуги заданного радиуса R двух окружностей центр дуги сопряжения А будет лежать в точке пересечения двух концентрических окружностей, совершённых из центров Ох и 02 радиусами, равными разности радиусов R — R1 и R — R2 соответственно.

Точки касания К будут лежать на продолжении прямых, соединяющих точку А с центрами Ох и 02.

задачи на построение ОКРУЖНОСТЬ 7 класс


Темы которые будут Вам интересны:

Читайте также: